50 años revolucionando la teoría de puntos críticos

El resultado se basa en una idea muy simple e intuitiva: imaginemos que vivimos en un valle rodeado de montañas y tenemos que viajar a otro valle alejado de nosotros. La experiencia nos dice que el camino más eficiente podría no ser el más corto ya que podría suponer tener que subir hasta la cima de la montaña más alta. En cambio, podríamos optar por un camino que suba la menor altura aunque esto requiera recorrer una distancia mayor. Esta es la opción que usan los ingenieros para las carreteras denominando puertos o pasos de montaña a esos puntos donde es mínima la altura máxima que se asciende.

Estos puntos son un tipo particular de punto de equilibrio de una superficie tridimensional suave, esto es, los puntos donde podemos dejar una canica sin que se mueva. Se corresponden con las posibles cimas de la superficie (máximos), las posibles bases de simas (mínimos) y otros que se asemejan gráficamente al centro de una silla de montar (puntos de silla). En el caso de los mínimos estrictos (los que no están sobre una planicie), al mover ligeramente la canica en cualquier dirección esta vuelve a la posición original, lo que se denomina equilibrio estable. En los puntos de silla esto solamente ocurriría al mover la canica en alguna dirección, no en todas, y se denomina equilibrio semiestable, caso particular de los pasos de montaña.

En matemáticas esto se puede modelizar como la gráfica de la función altura. Los puntos de equilibrio serían los puntos de la gráfica que corresponden a lo que se conocen como puntos críticos de la función (máximos, mínimos y puntos de silla). Al valor numérico que toma la función en los puntos críticos se le denomina valor crítico. El Teorema de Ambrosetti-Rabinowitz proporciona condiciones para asegurar, grosso modo, que el valor más pequeño de entre los máximos de la función a lo largo de los posibles caminos que unen dos puntos es, en realidad, un valor crítico. Además éste corresponde a un punto de equilibrio semiestable.

La prueba rigurosa no es nada simple y requiere conocimientos matemáticos de gran profundidad. Así, aunque el resultado se demuestra en un caso muy general, en el que la función numérica no es necesariamente la altura y puede estar definida en espacios de dimensión infinita, incluso en los casos más sencillos necesita de una conveniente condición de compacidad cuyo contenido matemático excede del propósito de estas líneas.

La generalidad del resultado permite su aplicación en problemas donde los puntos críticos corresponden con soluciones de ecuaciones en derivadas parciales que modelizan problemas de la realidad. Se ha usado en problemas que surgen en la mayoría de las disciplinas científicas: mecánica de fluidos, reacciones químicas, impulsos nerviosos, dinámica de poblaciones, combustión, economía, teoría de juegos... mostrando la importante revolución consecuencia de este teorema.

En el ámbito científico, un indicativo de la calidad de un trabajo suele ser el número de citas bibliográficas en otras aportaciones científicas. El artículo de Ambrosetti-Rabinowitz es el artículo de investigación en matemáticas más citado de toda la historia, 2771 citas bibliográficas según la base de datos especializada de la American Mathematical Society (mathscinet). Esta base de datos tiene indexadas más de cuatro millones de obras científicas de contenido matemático, entre artículos de investigación, artículos descriptivos, libros, tesis doctorales, etc. Para que se entienda mejor el valor de este dato y salvando mucho las distancias, en la Universidad de Almería habría que tomar, para llegar a esa cifra de citas, los 85 artículos de investigación en matemáticas más citados, del histórico de 1301 trabajos de la UAL en esta base de datos. Además, ningún autor español supera el millar de citas a un solo trabajo de investigación.

La relevancia del Teorema de Ambrosetti-Rabinowitz es tal que, sin duda en breve formará parte del currículo de las titulaciones de Grado en Matemáticas.